Les valeurs des intensités sonores s'étalent sur une grande échelle d'ordres de grandeur.
Le niveau d'intensité sonore \(L\) permet d'utiliser une échelle plus adaptée et plus proche des sensations auditives. Il se calcule à l'aide de la formule :
\(L = 10\log \left(\frac{I}{I_0}\right)\)
où :
\(\log\) est la fonction logarithme décimal (présente sur les calculatrices),
\(I\) est l'intensité sonore \(\left(\text{en }W.m^{-2}\right)\),
\(I_0\) est l'intensité sonore du seuil d'audibilité à la fréquence de \(1\,000\) Hz.
On a \(I_0 = 1,0 \times 10^{-12} \ W.m^{-2}\).
Le niveau d'intensité sonore \(L\) obtenu s'exprime en décibels (abréviation : dB).
Complément :
Le sonomètre permet de mesurer le niveau d'intensité sonore.
Sur cette image, le niveau d'intensité sonore est de \(85{,}8\) dB, juste au-dessus du seuil de risque fixé par l'Organisation Mondiale de la Santé (voir les cartes de synthèse ci-dessous pour en savoir plus).
Complément : une propriété remarquable du logarithme
La fonction logarithme a une propriété remarquable, elle « transforme la multiplication en addition » ! C'est-à-dire que, pour tous nombres réels \(a\) et \(b\), on a :
\(\log(ab)=\log(a)+\log(b)\)
Question⚓
Expliquer à l'aide de la propriété précédente le fait que quand on double la puissance d'un son, le niveau d'intensité sonore augmente d'environ \(3\)dB.
Solution⚓
Notons \(I_1\) l'intensité sonore initiale et \(L_1 = 10\log \left(\frac{I_1}{I_0}\right)\) son niveau d'intensité. L'intensité du son double en même temps que sa puissance donc le niveau d'intensité \(L_2\) après avoir doublé la puissance du son est :
\(L_2 = 10\log \left(\frac{2I_1}{I_0}\right) = 10\log \left(2\times \frac{I_1}{I_0}\right) = 10\log(2)+10\log \left(\frac{I_1}{I_0}\right) = 10\log(2) + L_1\)
Or \(log(2)\approx 0.30103\) (à \(10^{-5}\) près) donc \(10\log(2)\approx 3\) (au centième près), donc on a bien \(L_2\approx 3+L_1\).
Complément :
La fonction \(\log\) utilisée ici est le logarithme décimal. On peut se faire une idée de cette fonction : c'est l'exposant qui apparaît quand on écrit le nombre en argument sous forme de puissance de \(10\). On a donc les quelques valeurs suivantes :
\(x\) | \(1=10^0\) | \(10\) | \(100\) | \(1\,000\) | \(10\,000\) |
\(\log(x)\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) |
On voit sur ces valeurs qu'en utilisant la fonction \(\log\) pour calculer le niveau d'intensité, l'étalement des valeurs sur l'échelle obtenue va considérablement réduire !
Un autre exemple de valeur de la fonction \(\log\) : on sait que \(\sqrt{10}=10^{1/2}\approx 3{,}16\), on en déduit que \(\log(3{,}16)\approx 0{,}5\).
