On a rappelé ci-dessus que les sons obtenus en pinçant une corde de longueur donnée et de longueur diminuée de moitié sont particulièrement consonants. On dit de tels sons qu'ils correspondent à la même note (à des hauteurs différentes).
Définition :
On appelle octave la donnée de deux sons d'intervalle égal à 2.
Exemple :
Par exemple, La2 et La3 forment une octave, ainsi que La3 et La4, ...
En termes de fréquences, une octave est donc la donnée de deux fréquences fondamentales dont l'une est le double de l'autre : \(f\) et \(2f\) ; on retrouve la notion classique d'intervalle si on note cette octave :
\([f,2f[\)
L'octave suivante est alors \([2f,4f[\), puis \([4f,8f[\), \([8f,16f[\) ... tandis que l'octave précédente est \(\left[\frac{f}{2},f\right[\), puis \(\left[\frac{f}{4},\frac{f}{2}\right[\), ...
Insistons à nouveau sur le fait que c'est le rapport des deux fréquences qui est constant dans chaque octave (égal à 2) et non la différence !
Question⚓
Dans combien d'octaves l'oreille humaine peut-elle entendre des sons ?
Complément :
Mathématiquement, la solution la plus rigoureuse consiste à chercher l'exposant \(e\) tel que \(20\times 2^e=20\,000\), c'est-à-dire tel que \(2^e=1\,000\). En prenant le logarithme décimal, on obtient \(\log(2^e)=\log(1000)\). Comme \(\log(2^e)=e\log(2)\), on trouve \(e=\frac{\log(1000)}{\log(2)}\), ce qui donne pour l'exposant \(e\) la valeur approchée \(e\approx 9{,}97\). L'oreille humaine entend donc effectivement dans environ \(10\) octaves !
Pour pouvoir jouer de la musique il suffit de se donner des notes dans l'octave \([f,2f[\), c'est-à-dire des fréquences \(f_1\), \(f_2\), ..., \(f_g\) comprises entre \(f\) et \(2f\). On aura alors les mêmes notes, avec des fréquences doubles (\(2f_1\), \(2f_2\), ..., \(2f_g\)), dans l'octave supérieure \([2f,4f[\) ; puis les mêmes avec des fréquences quadruples (\(4f_1\), \(4f_2\), ..., \(4f_g\)) dans l'octave \([4f,8f[\) ... mais aussi les mêmes avec des fréquences moitié (\(\left(\frac{f_1}{2} \text{, }\frac{f_2}{2}\text{, ... , }\frac{f_g}{2}\right)\) dans l'octave inférieure \(\left[\frac{f}{2},f\right[\). Et ainsi de suite.
Définition :
Une gamme est une suite finie de notes réparties dans une octave.
Une fois la fréquence \(f\) choisie (par exemple \(f=440\) Hz pour le La3), quelles notes choisir parmi toutes les fréquences comprises entre \(f\) et \(2f\) pour composer la gamme ? Pour chacune des fréquences fondamentales \(f_1\), \(f_2\),... \(f_g\) des notes de la gamme, l'intervalle \(\frac{f_i}{f}\) devra être compris entre \(1\) et \(2\) afin que \(f_i\) soit comprise entre \(f\) et \(2f\) :
\(f\leq f_i\leq 2f\Leftrightarrow 1\leq \frac{f_i}{f}\leq 2\)
Se donner une gamme revient donc à choisir des nombres compris entre \(1\) et \(2\) (un pour chaque note). Bien sûr il faut les choisir de façon à ce que les notes obtenues sonnent bien ensemble !