Dans l'Antiquité, les seuls nombres connus sont les nombres rationnels, rapports de deux nombres entiers. Par ailleurs, on a vu qu'en réduisant la longueur d'une corde vibrante de moitié, le nouveau son obtenu est particulièrement consonant avec l'ancien (c'est l'octave) ; on obtient également un son consonant en réduisant la longueur aux \(\frac{2}{3}\), c'est-à-dire en multipliant la fréquence par \(\frac{3}{2}\).
Définition :
Une quinte est la donnée de deux sons d'intervalle égal à \(\frac{3}{2}\).
Exemple :
Par exemple Do2 (130 Hz) et Sol2 (195 Hz) forment une quinte puisque \(\frac{195}{130}=\frac{3}{2}=1{,}5\).
Complément :
On passe à l'octave en pinçant la corde à la moitié de sa longueur, il pourrait sembler plus naturel que le passage à la quinte se fasse en la pinçant au tiers (c'est-à-dire en divisant la longueur par 3). Cela revient au même que de la pincer aux \(\frac{2}{3}\) : en pinçant au tiers, la fréquence est multipliée par \(3\), la note obtenue est en dehors de l'octave de la note de départ ; en pinçant aux \(\frac{2}{3}\), la fréquence est multipliée par \(\frac{3}{2}\), la note obtenue reste dans l'octave de la note de départ et, comme \(\frac{3}{2}=3\times \frac{1}{2}\), c'est la même note qu'en pinçant au tiers, à l'octave en dessous.
Le cycle des quintes
À partir du constat que deux sons formant une quinte sont consonants, on construit une gamme en formant des quintes successives :
\(f\) et \(\frac{3}{2}\times f = \frac{3f}{2}\) forment une quinte donc on ajoute la note \(\frac{3f}{2}\) (dans l'octave \([f,2f[\)) ;
\(\frac{3f}{2}\) et \(\frac{3}{2}\times \frac{3f}{2}=\frac{9f}{4}\) forment une quinte, mais \(\frac{9}{4}>2\) donc \(\frac{9f}{4}\) n'est pas dans l'octave \([f,2f[\) ; la fréquence correspondant à la même note dans l'octave \([f,2f[\) est la fréquence moitié : \(\frac{9f}{4}\times \frac{1}{2}=\frac{9f}{8}\), on ajoute cette note dans l'octave \([f,2f[\) ;
la quinte suivante est donnée par \(\frac{9f}{8}\) et \(\frac{3}{2}\times \frac{9f}{8}=\frac{27f}{16}\), on ajoute la note \(\frac{27f}{16}\) dans l'octave (car \(\frac{27}{16}<\frac{32}{16}=2\)).
Question⚓
Compléter le tableau suivant en continuant le calcul des quintes, en revenant toujours dans l'octave \([f,2f[\) :
fréquence | \(f\) | \(\frac{3f}{2}\) | \(\frac{9f}{8}\) | \(\frac{27f}{16}\) | ||||
intervalle | 1 | 1,5 | 1,125 | 1,6875 |
Solution⚓
fréquence | \(f\) | \(\frac{3f}{2}\) | \(\frac{9f}{8}\) | \(\frac{27f}{16}\) | \(\frac{81f}{64}\) | \(\frac{243f}{128}\) | \(\frac{729f}{512}\) | \(\frac{2187f}{2048}\) |
intervalle | 1 | 1,5 | 1,125 | 1,6875 | 1,265625 | 1,8984375 | 1,423828125 | 1,06787109375 |
Remarque : pour la ligne "intervalle", on a donné les expressions décimales exactes des fractions \(\frac{81}{64}\), \(\frac{243}{128}\), \(\frac{729}{512}\) et \(\frac{2187}{2048}\), déterminées par le procédé ci-dessus ; par exemple \(\frac{3}{2}\times \frac{81}{64}=\frac{243}{128}\), \(\frac{3}{2}\times \frac{243}{128}=\frac{729}{256}\), mais ce nombre est supérieur à 2 donc on prend sa moitié \(\frac{729}{512}\), et \(\frac{3}{2}\times \frac{729}{512}=\frac{2187}{1024}\), qui à nouveau est supérieur à 2 donc qu'on divise par 2.
On constatera une fois le tableau rempli qu'au bout de 5 quintes, on arrive assez proche de l'octave (\(1{,}8984375\approx 2\)) et, au bout de 7 quintes, assez proche de la note initiale (\(1{,}06787109375\approx 1\)). Si on pousse jusqu'à 12 quintes, on arrive à l'intervalle
\(\frac{3^{12}}{2^{19}} = 1{,}0136432647705078125\)
c'est-à-dire qu'on retombe très proche de la note de départ.
Complément :
Peut-on retomber exactement sur la note de départ ? Il faudrait pour cela trouver des exposants entiers \(n\) et \(p\) tels que :
\(\frac{3^n}{2^p} = 1\)
ce qui équivaut à :
\(3^n = 2^p\)
Or \(3^n\) est un entier impair tandis que \(2^p\) est pair ... : c'est impossible !
On est obligé d'accepter de faire une approximation pour que le cycle des quintes finisse par revenir à la note de départ. Cette approximation est d'autant plus petite que le cycle est long et que le nombre de notes est grand (ce qui peut poser des problèmes en pratique). La quinte qu'on a diminuée ou allongée s'appelle le loup.