On trouve les notes de la gamme de Pythagore en appliquant le procédé décrit précédemment, appelé cycle des quintes, à partir de la note Fa.
Question⚓
Partons du Fa3 (348 Hz) et appliquons le cycle des quintes jusqu'à la 7è note, on obtient les notes de la gamme de Pythagore (dans le désordre !). Calculer leurs fréquences :
Fa | Do | Sol | Ré | La | Mi | Si |
348 |
Solution⚓
Fa | Do | Sol | Ré | La | Mi | Si |
348 | 522 | 391 | 587 | 440 | 661 | 495 |
Remarque : pour les calculs on est toujours reparti de la fréquence initiale (348 Hz), qu'on a multipliée par la valeur exacte de l'intervalle calculée dans l'activité précédente ; puis on a arrondi les résultats aux entiers les plus proches, par exemple \(348\times 1{,}125=391{,}5\) arrondi à \(391\).
Noter que \(348\times 1{,}06787109375\approx 372\), on ne retombe pas exactement sur la note de départ après la 7e note. Si on applique le cycle des quintes jusqu'à la 12e note, on obtient 5 notes supplémentaires :
Do# , Ré# , Fa# , Sol# , La#
qui s'intercalent entre Do et Ré, Ré et Mi, Fa et Sol, Sol et La, La et Si.
Question⚓
On donne les 5 derniers intervalles du cycle à 12 quintes sous forme de fractions : \(\dfrac{3^8}{2^{12}}\), \(\dfrac{3^9}{2^{14}}\), \(\dfrac{3^{10}}{2^{15}}\), \(\dfrac{3^{11}}{2^{17}}\) et \(\dfrac{3^{12}}{2^{19}}\). En déduire les fréquences des 5 notes supplémentaires Do#, Ré#, Fa#, Sol# et La# (attention à l'ordre !).
Solution⚓
La première nouvelle note est celle déjà calculée ci-dessus : \(348\times 1{,}06787109375\approx 372\).
On trouve les quatre notes manquantes en multipliant \(348\) par les 4 premières fractions données dans l'énoncé et en arrondissant aux entiers les plus proches, on trouve les valeurs : \(557\), \(418\), \(627\) et \(470\).
On remet dans l'ordre dans un tableau pour faire correspondre avec les notes diésées (en se rappelant qu'on a commencé la gamme à Fa) :
Fa# | Sol# | La# | Do# | Ré# |
372 | 418 | 470 | 557 | 627 |
On voit qu'une fois les 5 nouvelles notes remises dans l'ordre, il n'y en a pas entre Si et Do, d'où le fait qu'il n'existe pas de Si diésé (de même pour Mi).
Le dernier intervalle donné permet de vérifier qu'on retombe presque sur la note de départ au bout des 12 quintes : \(348\times\dfrac{3^{12}}{2^{19}}\approx 353\). Le petit écart restant est le comma pythagoricien.
La tradition veut qu'on appelle gammes de Pythagore les gammes à 5, 7 ou 12 notes obtenues de cette façon. Elles sont également apparues dans d'autres cultures indépendamment de la culture grecque antique (notamment en Chine).
Complément : quartes
On peut vérifier qu'au lieu d'utiliser des quintes, on aurait pu utiliser des quartes \(\left(\text{deux notes dont l'intervalle vaut }\frac{4}{3}\right)\), on retrouve alors les mêmes notes car :
\(\frac{4}{3}\times \frac{3}{2}=2\)
Sur les notes, les opérations « prendre la quinte » et « prendre la quarte » sont donc inverses l'une de l'autre ! Par exemple, Do et Sol forment une quinte donc Sol et Do forment une quarte (remarque : il s'agit alors du Do dans l'octave au-dessus du Sol).
Prendre la quarte d'une note, c'est multiplier sa fréquence par \(\frac{4}{3}\), ce qui revient au même que la diviser par \(\frac{3}{2}\) \(\left(\text{c'est-à-dire la multiplier par }\frac{2}{3}\right)\) puis multiplier par \(2\) pour rester dans l'octave : \(\frac{4}{3}=\frac{2}{3}\times 2\). Cette opération peut donc être vue comme une quinte descendante \(\left(\text{on divise par }\frac{3}{2}\right)\), par opposition avec celle qu'on a utilisée jusque-là \(\left(\text{multiplier par }\frac{3}{2}\right)\), qu'on peut appeler une quinte ascendante.
Complément : mode majeur
Il semble qu'historiquement la gamme de Pythagore était plutôt construite à partir de la note Do, en appliquant 5 quintes ascendantes pour obtenir les notes Sol, Ré, La, Mi, Si et 1 quinte descendante (ou 1 quarte) pour obtenir la note Fa. Cette construction (qui donne les mêmes notes que celles que nous avons utilisées en appliquant des quintes uniquement ascendantes à partir de Fa) est connue sous le nom de mode majeur. Elle donne la gamme de Do majeur, dans laquelle la quinte fausse se trouve entre Si et Fa, ce qui fait que ces notes risquent de ne pas très bien sonner ensemble (tandis que si on appliquait 6 quintes ascendantes à partir de Do, elle se trouverait entre Fa et Do).