Pour remédier à cet inconvénient, les musiciens des XVIe et XVIIe siècles ont rivalisé d'imagination. Le fait que soient connus et acceptés, à cette époque, les nombres irrationnels (non égaux à un rapport entre deux nombres entiers, par exemple \(\sqrt 2\)) leur a permis de proposer des gammes dans lesquelles tous les intervalles sont égaux, en particulier à partir de la gamme de Pythagore à 12 notes, dans laquelle ils sont déjà très proches. En effet on voudrait avoir l'égalité des rapports :
\(\dfrac{f_1}{f}=\dfrac{f_2}{f_1}=\dfrac{f_3}{f_2}=\dfrac{f_4}{f_3}=\dfrac{f_5}{f_4}=\dfrac{f_6}{f_5}=\dfrac{f_7}{f_6}=\dfrac{f_8}{f_7}=\dfrac{f_9}{f_8}=\dfrac{f_{10}}{f_9}=\dfrac{f_{11}}{f_{10}}=\dfrac{2f}{f_{11}}\)
Si \(x\) désigne un nombre égal à ces 12 rapports, alors \(x^{12}=x\cdot x\cdot x\cdots x\) (12 facteurs) doit être égal à leur produit :
\(x^{12}=\dfrac{f_1}{f}\times\dfrac{f_2}{f_1}\times\dfrac{f_3}{f_2}\times\cdots\times\dfrac{f_{11}}{f_{10}}\times\dfrac{2f}{f_{11}}\)
donc, en simplifiant,
\(x^{12}=\dfrac{2f}{f}=2\).
On sait qu'il existe un unique nombre réel positif satisfaisant l'égalité \(x^{12}=2\).
Définition :
L'unique nombre réel positif dont la puissance douzième vaut \(2\) est appelé racine douzième de \(2\) et il est noté \(\sqrt[12]2\).
Attention :
\(\sqrt[12]2\) est donc l'unique nombre réel positif tel que \(\left(\sqrt[12]2\right)^{12}=2\).
Définition :
La gamme tempérée à 12 notes est construite à partir du La3, de fréquence 440 Hz, en appliquant des intervalles constants de \(\sqrt[12]2\).
Puisque tous les intervalles sont égaux, il est maintenant toujours possible et très facile de transposer un morceau. Il n'y a pas dans cette gamme de "quinte du loup" un peu dissonante, le comma pythagoricien (l'erreur due au fait que le cycle des quintes ne se referme jamais exactement) est réparti uniformément dans tous les intervalles et devient ainsi imperceptible.
Question⚓
À l'aide de la valeur approchée de \(\sqrt[12]2\), remplir le tableau des fréquences de la gamme tempérée à 12 notes (même si elles sont un peu modifiées, on garde le même nom pour les notes) en partant du La3 (fréquence 440 Hz) :
Do | Do# | Ré | Ré# | Mi | Fa | Fa# | Sol | Sol# | La | La# | Si |
440 |
Vérifier pour terminer que l'intervalle entre le double de la fréquence trouvée pour Do et celle de Si est encore égal à \(\sqrt[12]2\).
Solution⚓
Do | Do# | Ré | Ré# | Mi | Fa | Fa# | Sol | Sol# | La | La# | Si |
262 | 277 | 294 | 311 | 330 | 349 | 370 | 392 | 415 | 440 | 466 | 494 |
On trouve la fréquence de La# en multipliant celle de La par \(\sqrt[12]2\), puis en arrondissant à l'entier le plus proche : \(440\times\sqrt[12]2\approx 466\) ; pour celle de Si, on peut multiplier le résultat (non arrondi) précédent par \(\sqrt[12]2\) ou multiplier la fréquence de La par \(\left(\sqrt[12]2\right)^2\) : \(440\times\left(\sqrt[12]2\right)^2\approx 494\).
Pour Sol#, on divise la fréquence du La par \(\sqrt[12]2\) : \(\frac{440}{\sqrt[12]2}\approx 415\) ; pour Sol on divise celle de La par \(\left(\sqrt[12]2\right)^2\), et ainsi de suite jusqu'au Do pour lequel on divise la fréquence de La par \(\left(\sqrt[12]2\right)^9\).
Enfin \(\frac{2\times 262}{494}\approx 1{,}0607\approx\sqrt[12]2\). Bien sûr les arrondis aux entiers les plus proches ont fait perdre en précision (la bonne valeur pour le Do à l'octave est \(440\times\left(\sqrt[12]2\right)^3\approx 523\) tandis que \(2\times 262=524\)).
Les pianos sont accordés selon la gamme tempérée ; les touches blanches correspondent aux 7 notes provenant de la gamme à 7 notes (Do, Ré, Mi, Fa, Sol, La, Si), les touches noires correspondent aux 5 notes diésées (Do#, Ré#, Fa#, Sol#, La#) qui la complètent pour former la gamme à 12 notes, avec les fréquences calculées comme ci-dessus dans les deux cas.
Complément :
On trouvera des valeurs plus précises des fréquences des notes de la gamme tempérée par exemple sur la page https://fr.wikipedia.org/wiki/Fr%C3%A9quences_des_touches_du_piano